Archive for the ‘Raciocínio’ Category

Mathai-kai da Incógnita Desdobrada

dezembro 4, 2007

 Como expliquei anteriormente, mathai-kai é um hai-kai matemático. E aqui vai outro, extraído das páginas do livro “Cálculo”, de James Stewart, Editora Pioneira / Thomson Learning, página 111):

mathaikai01

Fazendo uma espécie de engenharia reversa (a chamada fatoração), constata-se que x² + x – 2 resulta da multiplicação destes dois fatores:

( x – 1 ) ( x + 2 )

Ora, para tornar a função calculável, necessário se faz eliminar um desses fatores. Para isso, é preciso fatorar também a expressão do numerador ( 3x² + yx + ( y + 3 ) ), de tal forma que ela fique com um fator igual a um dos fatores do denominador. Ou seja, a fatoração do numerador deve apresentar um fator ( x – 1 ) ou ( x + 2 ).

Pensando melhor, esse fator repetido não pode ser ( x – 1 ), pois nesse caso a equação do numerador teria um sinal de menos ( ) junto ao coeficiente “c”, o que não ocorre. Sobra o fator ( x + 2 ). E como temos um 3 junto a , esse 3 deve estar, na fatoração, junto ao outro x. Vejamos um resultado provisório e incompleto, atribuindo valor “z” ao número desconhecido do segundo fator :

( x + 2 ) ( 3x + z )

Percebe-se que o “y” da equação do numerador aparece desdobrado na sua fatoração. Com efeito, se multiplicarmos esses fatores, obtemos:

mathaikai03

Vamos comparar essa notação com aquela do problema:

mathaikai02

Vemos que y = z + 6 e que 2z = y + 3. Montando o sistema:

mathaikai04

Substituindo, na segunda linha, “y” por seu valor equivalente, ( z + 6 ), teremos:

2 z = ( z + 6 ) + 3
2 z = z + 9
2 z – z = 9
z = 9

Embora não seja rigorosamente necessário achar o valor de “y” para resolver o problema, vamos voltar à primeira linha, e substituir “z” por seu valor, já definido (z = 9):

y = 9 + 6
y = 15

Agora podemos estabelecer o limite da função, lembrando que x = – 2 e z = 9 :

mathaikai05

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Mathai-kai dos Avessos

dezembro 3, 2007

 Mathai-kai é o nome que se pode dar a um hai-kai matemático. Aqui está um deles, e bem interessante: o problema consiste em achar o limite (com x tendendo a 2) da função

mathaik1

Percebe-se que essa equação não pode ser resolvida diretamente (substituindo-se os “x” por 2), pois isto nos levaria a um denominador igual a zero ( x – 2 = 2 – 2 = 0 ).

É necessário, portanto, que essa equação passe por uma metamorfose até atingir um formato calculável. Vemos, inicialmente, que os elementos do numerador,

mathaik2

podem, de modo equivalente, ser escritos como

mathaik3

Assim,

mathaik4

mathaik5

Ora, se a expressão do denominador ( x – 2 ) aparecesse, exatamente assim, também no denominador, poderíamos substituir cada uma delas por 1, simplificando as contas. Mas no numerador a expressão aparece com os sinais trocados:

numerador: . . . . – x + 2
denominador: . . . + x – 2

Bom, pode-se olhar o avesso da expressão ( – x + 2 ), que é ( x – 2 ), ou ( – x + 2 ) multiplicados por – 1 . Porém, – x + 2 ≠ x – 2.

Aproveitando então aquela dica da famosa canção do Caetano Veloso, pode-se analisar o avesso do avesso:

numerador : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – x + 2
seu avesso : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x – 2
o avesso do seu avesso : . . . . . . . . . . . . . . . . . – 1 . ( x – 2 )

Percebe-se, agora, que ( – x + 2 ) = – 1 . ( x – 2 ). Isto posto, vamos reescrever a equação anterior:

mathaik6

Eliminando os fatores iguais ( x – 2 ), tanto no numerador quanto no denominador, e depois substituindo-se “x” por 2, chega-se ao resultado final:

mathaik7

Não é uma bela solução ?

Matemática e Poesia

novembro 22, 2007

Pode-se definir poesia como a junção criteriosa de palavras, de modo a levar o seu leitor a um sentimento (ou conclusão) surpreendente, inusitado, possivelmente até diferente daquele que o autor pretendeu provocar. Mas, e se juntarmos numerais, sinais e fórmulas matemáticas, de forma a obter uma solução que parecia impossível, trazendo uma agradável surpresa ao estudioso: isto não seria também um poema? Acredito que sim, pois essa surpresa é do mesmo gênero daquela causada pelo poema-palavras.

Vou citar um caso-poema (um pequeno poema, é certo: um hai-kai) em que a surpresa não está no resultado obtido, mas sim, no modo como se transpôs o espaço entre o problema e a sua solução. Vejamos uma seqüência, no livro “Cálculo”, do norte-americano James Stewart, onde ele, depois de propor que se divida numerador e denominador por x, transforma de chofre a equação da esquerda na equação da direita:

limites_1

Ora, a gente, seguindo literalmente o conselho, desenha as fases intermediárias abaixo, que evidentemente não levam a lugar algum, pois o conteúdo da raiz quadrada continua intacto.

limites_2

A solução verdadeira consiste em aplicar dois “truques” até que bem conhecidos. Mas deixo essa tarefa para o leitor que gosta de matemática e/ou quebra-cabeças. Mandando a solução através dos comentários desta postagem (clique em “nenhum comentário”, ou, se aqui já houver um comentário, em “1 comentário”) o leitor ganhará um exemplar do livro “Tom Sawyer, Detetive”, de Mark Twain. Portanto, ao poe…, ops, ao trabalho!

Mude o Ponto de Vista!

setembro 6, 2007

Na Matemática, assim como na vida, a resolução de um problema às vezes depende de você analisá-lo de um ângulo novo, de um ponto de vista mais adequado.

Veja esta questão, proposta no fórum do site “Só Matemática” por Thiago Sina, que adota como nick o nome do matemático Tartaglia:

“As idades de Alice e Bernardo, juntas, perfazem um total de 11016 dias.
“Sabendo que daqui a 1296 dias Bernardo terá o dobro da idade que Alice tinha quando Bernardo tinha o dobro da idade que Alice tinha quando esta tinha o dobro da idade de Bernardo, diga qual é a idade de Alice, em dias.”

Bom, se você entendeu tudinho, parabéns: você deve ser um gênio, ou uma gênia. Mas se, como aconteceu comigo, você achou o enunciado confuso, tente analisá-lo de um outro ângulo. Por exemplo, faça uma análise de-trás-para-a-frente, ou seja, comece pelo fim do enunciado, onde se diz que numa certa época Alice tinha o dobro da idade de Bernardo.

Isto quer dizer que, num primeiro momento, Bernardo tinha “x” dias de vida, e nesse mesmo momento Alice tinha os “x” dias de Bernardo mais outros “x” dias, anteriores ao nascimento de Bernardo.

Como já descobrimos o “x” do problema, falta agora arrumar o restante das informações fornecidas. Assim, temos que imaginar um segundo momento, em que Bernardo tinha o dobro da idade que Alice tinha naquele primeiro momento, ou seja, quando Bernardo tinha 2 vezes “x + x”, ou duas vezes “2x”. Fazendo as contas:

2 . 2x = 4x

Nesse segundo momento, qual era a idade de Alice, já que a de Bernardo era de 4x?

Descoberta a idade de Alice nesse segundo momento, faltará imaginar um terceiro momento, desta vez no futuro, ou seja, daqui a 1296 dias, ocasião em que Bernardo terá o dobro da idade que Alice tinha no segundo momento. E a partir da idade de Bernardo nesse terceiro momento, achar a idade de Alice nesse mesmo tempo futuro.

Já dá para o leitor, ou a leitora, resolver? Ou ficou muito fácil?

Aviso que há ainda duas pequenas armadilhas, da qual se deve desviar:

1) não esqueça de que em qualquer um dos três momentos, a diferença entre a idade de Alice e a idade de Bernardo é sempre a mesma, ou seja, constante, ou seja, diferença de “x” dias.

2) observe que, por exemplo, daqui a 7 dias, a idade conjunta de Alice e Bernardo sofrerá uma acréscimo de 14 dias, ou seja, os 7 dias de Alice mais os 7 dias de Bernardo.

Podem me mandar as soluções que encontrarem.