Mathai-kai da Incógnita Desdobrada

 Como expliquei anteriormente, mathai-kai é um hai-kai matemático. E aqui vai outro, extraído das páginas do livro “Cálculo”, de James Stewart, Editora Pioneira / Thomson Learning, página 111):

Fazendo uma espécie de engenharia reversa (a chamada fatoração), constata-se que x² + x – 2 resulta da multiplicação destes dois fatores:

( x – 1 ) ( x + 2 )

Ora, para tornar a função calculável, necessário se faz eliminar um desses fatores. Para isso, é preciso fatorar também a expressão do numerador ( 3x² + yx + ( y + 3 ) ), de tal forma que ela fique com um fator igual a um dos fatores do denominador. Ou seja, a fatoração do numerador deve apresentar um fator ( x – 1 ) ou ( x + 2 ).

Pensando melhor, esse fator repetido não pode ser ( x – 1 ), pois nesse caso a equação do numerador teria um sinal de menos ( – ) junto ao coeficiente “c”, o que não ocorre. Sobra o fator ( x + 2 ). E como temos um 3 junto a x², esse 3 deve estar, na fatoração, junto ao outro x. Vejamos um resultado provisório e incompleto, atribuindo valor “z” ao número desconhecido do segundo fator :

( x + 2 ) ( 3x + z )

Percebe-se que o “y” da equação do numerador aparece desdobrado na sua fatoração. Com efeito, se multiplicarmos esses fatores, obtemos:

Vamos comparar essa notação com aquela do problema:

Vemos que y = z + 6 e que 2z = y + 3. Montando o sistema:

Substituindo, na segunda linha, “y” por seu valor equivalente, ( z + 6 ), teremos:

2 z = ( z + 6 ) + 3
2 z = z + 9
2 z – z = 9
z = 9

Embora não seja rigorosamente necessário achar o valor de “y” para resolver o problema, vamos voltar à primeira linha, e substituir “z” por seu valor, já definido (z = 9):

y = 9 + 6
y = 15

Agora podemos estabelecer o limite da função, lembrando que x = – 2 e z = 9 :

Mathai-kai dos Avessos

 Mathai-kai é o nome que se pode dar a um hai-kai matemático. Aqui está um deles, e bem interessante: o problema consiste em achar o limite (com x tendendo a 2) da função

Percebe-se que essa equação não pode ser resolvida diretamente (substituindo-se os “x” por 2), pois isto nos levaria a um denominador igual a zero ( x – 2 = 2 – 2 = 0 ).

É necessário, portanto, que essa equação passe por uma metamorfose até atingir um formato calculável. Vemos, inicialmente, que os elementos do numerador,

podem, de modo equivalente, ser escritos como

Assim,

Ora, se a expressão do denominador ( x – 2 ) aparecesse, exatamente assim, também no denominador, poderíamos substituir cada uma delas por 1, simplificando as contas. Mas no numerador a expressão aparece com os sinais trocados:

numerador: . . . . – x + 2
denominador: . . . + x – 2

Bom, pode-se olhar o avesso da expressão ( – x + 2 ), que é ( x – 2 ), ou ( – x + 2 ) multiplicados por – 1 . Porém, – x + 2 ≠ x – 2.

Aproveitando então aquela dica da famosa canção do Caetano Veloso, pode-se analisar o avesso do avesso:

numerador : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – x + 2
seu avesso : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x – 2
o avesso do seu avesso : . . . . . . . . . . . . . . . . . – 1 . ( x – 2 )

Percebe-se, agora, que ( – x + 2 ) = – 1 . ( x – 2 ). Isto posto, vamos reescrever a equação anterior:

Eliminando os fatores iguais ( x – 2 ), tanto no numerador quanto no denominador, e depois substituindo-se “x” por 2, chega-se ao resultado final:

Não é uma bela solução ?

Matemática e Poesia

Pode-se definir poesia como a junção criteriosa de palavras, de modo a levar o seu leitor a um sentimento (ou conclusão) surpreendente, inusitado, possivelmente até diferente daquele que o autor pretendeu provocar. Mas, e se juntarmos numerais, sinais e fórmulas matemáticas, de forma a obter uma solução que parecia impossível, trazendo uma agradável surpresa ao estudioso: isto não seria também um poema? Acredito que sim, pois essa surpresa é do mesmo gênero daquela causada pelo poema-palavras.

Vou citar um caso-poema (um pequeno poema, é certo: um hai-kai) em que a surpresa não está no resultado obtido, mas sim, no modo como se transpôs o espaço entre o problema e a sua solução. Vejamos uma seqüência, no livro “Cálculo”, do norte-americano James Stewart, onde ele, depois de propor que se divida numerador e denominador por x, transforma de chofre a equação da esquerda na equação da direita:

Ora, a gente, seguindo literalmente o conselho, desenha as fases intermediárias abaixo, que evidentemente não levam a lugar algum, pois o conteúdo da raiz quadrada continua intacto.

A solução verdadeira consiste em aplicar dois “truques” até que bem conhecidos. Mas deixo essa tarefa para o leitor que gosta de matemática e/ou quebra-cabeças. Mandando a solução através dos comentários desta postagem (clique em “nenhum comentário”, ou, se aqui já houver um comentário, em “1 comentário”) o leitor ganhará um exemplar do livro “Tom Sawyer, Detetive”, de Mark Twain. Portanto, ao poe…, ops, ao trabalho!

Mude o Ponto de Vista!

Na Matemática, assim como na vida, a resolução de um problema às vezes depende de você analisá-lo de um ângulo novo, de um ponto de vista mais adequado.

Veja esta questão, proposta no fórum do site “Só Matemática” por Thiago Sina, que adota como nick o nome do matemático Tartaglia:

“As idades de Alice e Bernardo, juntas, perfazem um total de 11016 dias.
“Sabendo que daqui a 1296 dias Bernardo terá o dobro da idade que Alice tinha quando Bernardo tinha o dobro da idade que Alice tinha quando esta tinha o dobro da idade de Bernardo, diga qual é a idade de Alice, em dias.”

Bom, se você entendeu tudinho, parabéns: você deve ser um gênio, ou uma gênia. Mas se, como aconteceu comigo, você achou o enunciado confuso, tente analisá-lo de um outro ângulo. Por exemplo, faça uma análise de-trás-para-a-frente, ou seja, comece pelo fim do enunciado, onde se diz que numa certa época Alice tinha o dobro da idade de Bernardo.

Isto quer dizer que, num primeiro momento, Bernardo tinha “x” dias de vida, e nesse mesmo momento Alice tinha os “x” dias de Bernardo mais outros “x” dias, anteriores ao nascimento de Bernardo.

Como já descobrimos o “x” do problema, falta agora arrumar o restante das informações fornecidas. Assim, temos que imaginar um segundo momento, em que Bernardo tinha o dobro da idade que Alice tinha naquele primeiro momento, ou seja, quando Bernardo tinha 2 vezes “x + x”, ou duas vezes “2x”. Fazendo as contas:

2 . 2x = 4x

Nesse segundo momento, qual era a idade de Alice, já que a de Bernardo era de 4x?

Descoberta a idade de Alice nesse segundo momento, faltará imaginar um terceiro momento, desta vez no futuro, ou seja, daqui a 1296 dias, ocasião em que Bernardo terá o dobro da idade que Alice tinha no segundo momento. E a partir da idade de Bernardo nesse terceiro momento, achar a idade de Alice nesse mesmo tempo futuro.

Já dá para o leitor, ou a leitora, resolver? Ou ficou muito fácil?

Aviso que há ainda duas pequenas armadilhas, da qual se deve desviar:

1) não esqueça de que em qualquer um dos três momentos, a diferença entre a idade de Alice e a idade de Bernardo é sempre a mesma, ou seja, constante, ou seja, diferença de “x” dias.

2) observe que, por exemplo, daqui a 7 dias, a idade conjunta de Alice e Bernardo sofrerá uma acréscimo de 14 dias, ou seja, os 7 dias de Alice mais os 7 dias de Bernardo.

Podem me mandar as soluções que encontrarem.